题目内容
【题目】已知函数.
(1)当函数与函数
图象的公切线l经过坐标原点时,求实数a的取值集合;
(2)证明:当时,函数
有两个零点
,且满足
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)先利用导数的几何意义和函数求出公切线方程,再将公切线方程与函数
联立,表示
,再构造函数
利用导数求出其单调区间和值域,可求出a的取值;
(2)要证有两个零点,只要证
有两个零点即可,而
时函数
的一个零点,所以只需再利用导数研究此函数的性质即可,由于两个零点,一个是
,另一个在区间
上,若设
则
, 所以只需利用导数证明
即可 .
解:(1)设公切线l与函数的切点为
,则公切线l的斜率
,公切线l的方程为:
,将原点坐标
代入,得
,解得
,公切线l的方程为:
,
将它与联立,整理得
.
令,对之求导得:
,令
,解得
.
当时,
单调递减,值域为
,
当时,
单调递增,值域为
,
由于直线l与函数相切,即只有一个公共点,
故实数a的取值集合为.
(2)证明:,要证
有两个零点,只要证
有两个零点即可.
,即
时函数
的一个零点.
对求导得:
,令
,解得
.当
时,
单调递增;
当时,
单调递减.当
时,
取最小值,
,
,必定存
在使得二次函数
,
即.因此在区间上
必定存在
的一个零点.
练上所述,有两个零点,一个是
,另一个在区间
上.
下面证明.
由上面步骤知有两个零点,一个是
,另一个在区间
上.
不妨设则
,下面证明
即可.
令,对之求导得
,
故在定义域内单调递减,
,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目