Question

【题目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中， ， ，点为线段的中点．

（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值，若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）因为，所以在同一平面，取的中点，连结，交点即为所求点，因为；（2）根据底面菱形，根据余弦定理求，三边满足勾股定理，所以， 平面，所以以建立空间直角坐标系，分别计算平面和平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，再求正弦值.

试题解析：（1）取的中点，连接交于点， 点即为所求的点.

证明：连接，

∵是的中点， 是的中点，

∴，

又平面， 平面，

∴直线平面.

∵，

∴，

∴.

（2）由（1）知，

又面面，面 面， 面，

所以面.

故.

以为空间原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，

∵，

∴为正三角形， ，

∴，

∴.

设平面的一个法向量，则由可得

令，则.

设平面的一个法向量，则由可得

令，则.

则，

设二面角的平面角为，则，

∴二面角的正弦值为.