题目内容
【题目】设椭圆
过点
，且直线
过
的左焦点.
（1）求的方程；
（2）设
为上的任一点，记动点
的轨迹为
，与
轴的负半轴、
轴的正半轴分别交于点
，的短轴端点关于直线
的对称点分别为
、
，当点
在直线
上运动时，求
的最小值；
（3）如图，直线
经过的右焦点
，并交于
两点，且在直线
上的射影依次为
，当绕转动时，直线
与
是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）当
绕
转动时，直线
与
相交于定点
【解析】
（1）由题设知a＝2，进一步求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）求出轨迹为Γ的方程，端点G、H的坐标，得到GH所在直线方程，设P的坐标，利用数量积的坐标运算把
转化为P的纵坐标的二次函数求最值；
（3）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N（
，0），猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N（，0）．设出直线方程及A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N（，0），再证点N（，0）也在直线lBD上，可得当l绕F转动时，直线AE与BD相交于定点（，0）．
解：（1）由已知得a＝2，在直线x﹣5y+1＝0中，取y＝0，得x＝﹣1，可得c＝1．
∴b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆C的方程为
；
（2）由
为C上的点，得
，
∴Γ：，则G（﹣2，0），H（0，1），
∴GH：
，即x﹣2y+2＝0．
椭圆C的短轴两端点分别为（0，
），（0，
），
两点关于直线y＝x的对称点分别为F1（，0）、F2（，0），
设P（x0，y0），则x0﹣2y0+2＝0，
，
，
则
，
∴的最小值为
；
（3）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，
由对称性知，AE与BD相交FK的中点N（，0），
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N（，0）．
证明：设直线l方程y＝k（x﹣1），
直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），则D（4，y1），E（4，y2），
联立
，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
∴
，
，
当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N（，0），
∵AE：
（x﹣4），当x
时，y
（
0，
∴点N（，0）在直线lAE上，
同理可证，点N（，0）也在直线lBD上．
∴当l绕F转动时，AE与BD相交于定点（，0）．
