题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2,一条准线方程为x=2.P为椭圆C上一点,直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P的坐标为(0,b),求过点P,Q,F2三点的圆的方程;
(3)若=
,且λ∈[
],求
的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)通过焦距以及准线方程,求出a,c,然后求解b,得到椭圆方程.
(2)求出三点坐标,设出圆的一般方程,然后求解即可.
(3)求出P的坐标,代入椭圆方程,通过向量的数量积结合基本不等式求解即可.
(1)由题意得,解得c=1,a2=2,所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆的方程为.
(2)因为P(0,1),F1(-1,0),所以PF1的方程为x-y+1=0.
由解得
或
所以Q点的坐标为
.
设过P,Q,F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
解得
所以圆的方程为.
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则.
因为,所以
所以,解得
.
所以
=
=.
因为,所以
,当且仅当
,即λ=1时取等号,
所以.即
最大值为
.

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