Question

9．学校食堂周一提供两种菜品，凡是在周一选A菜品的，下周一有20%选B，选B的下周一有30%改选A，用A_n，B_n，分别表示在第n个星期一选A，B人数．
（1）若矩阵$|\begin{array}{l}{{A}_{n+1}}\\{{B}_{n+1}}\end{array}|$=M$|\begin{array}{l}{{A}_{n}}\\{{B}_{n}}\end{array}|$，求矩阵M；
（2）求矩阵M的逆矩阵．

Answer 1

分析 （1）利用A_n+1=0.8A_n+0.3B_n、B_n+1=0.2A_n+0.7B_n，结合$|\begin{array}{l}{{A}_{n+1}}\\{{B}_{n+1}}\end{array}|$=M$|\begin{array}{l}{{A}_{n}}\\{{B}_{n}}\end{array}|$即得结论；
（2）利用矩阵的初等行变换计算即得结论．

解答 解：（1）根据题意可知：A_n+1=0.8A_n+0.3B_n，
B_n+1=0.2A_n+0.7B_n，
∵矩阵$|\begin{array}{l}{{A}_{n+1}}\\{{B}_{n+1}}\end{array}|$=M$|\begin{array}{l}{{A}_{n}}\\{{B}_{n}}\end{array}|$，
∴矩阵M=$[\begin{array}{l}{0.8}&{0.3}\\{0.2}&{0.7}\end{array}]$；
（2）$[\begin{array}{l}{0.8}&{0.3}&{1}&{0}\\{0.2}&{0.7}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{3}{8}}&{\frac{5}{4}}&{0}\\{2}&{7}&{0}&{10}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{3}{8}}&{\frac{5}{4}}&{0}\\{0}&{\frac{25}{4}}&{-\frac{5}{2}}&{10}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{3}{8}}&{\frac{5}{4}}&{0}\\{0}&{1}&{-\frac{2}{5}}&{\frac{8}{5}}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\frac{7}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{0}&{1}&{-\frac{2}{5}}&{\frac{8}{5}}\end{array}]$，
∴矩阵M的逆矩阵为：$[\begin{array}{l}{\frac{7}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{-\frac{2}{5}}&{\frac{8}{5}}\end{array}]$．

点评 本题是一道关于数列与矩阵的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．