Question

4．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3t}{5}\\ y=-1+\frac{4t}{5}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3t}{5}\\ y=-1+\frac{4t}{5}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t即可化为普通方程．曲线C的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，展开化为ρ²=$\sqrt{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）把l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中可得：${t^2}-\frac{21}{5}t+4=0$，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3t}{5}\\ y=-1+\frac{4t}{5}\end{array}\right.$（t为参数），
化为普通方程为4x-3y+1=0．
曲线C的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，展开化为ρ²=$\sqrt{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ）$，
∴直角坐标方程为：x²+y²=x+y，
配方为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）把l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中可得：
${t^2}-\frac{21}{5}t+4=0$，
$则{t_1}+{t_2}=\frac{21}{5}，{t_1}{t_2}=4$．
∴$|{MN}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{\sqrt{41}}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．