题目内容
14．设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则p=（ ）| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 5 |
分析 利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．
解答 
解：∵OD⊥AB，∴kOD•kAB=-1．
又kOD=3，∴kAB=-$\frac{1}{3}$，
∴直线AB的方程为y-3=-$\frac{1}{3}$（x-1），
即为y=-$\frac{1}{3}x$+$\frac{10}{3}$，
设A（x1，x2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，
又x1x2+y1y2=x1x2+（-$\frac{1}{3}$x1+$\frac{10}{3}$）（-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{10}{3}$）
=$\frac{10}{9}$x1x2-$\frac{10}{9}$（x1+x2）+$\frac{100}{9}$，
联立直线方程和抛物线方程，消y可得$\frac{1}{9}$x2-（$\frac{20}{9}$+2p）x+$\frac{100}{9}$=0①
∴x1+x2=20+18p，x1x2=100，
∴x1x2+y1y2=$\frac{10}{9}$×100-$\frac{10}{9}$×（20+18p）+$\frac{100}{9}$=0，
∴p=5，
当p=5时，方程①成为x2-110x+100=0显然此方程有解．
∴p=5成立．
故选：D．
点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理和向量垂直的条件是关键．
练习册系列答案
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