Question

19．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．
（1）证明：NE⊥PD；
（2）求四棱锥B-CEPD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连接NF，利用正方形的性质、三角形的中位线定理可得NF∥PD，且$NF=\frac{1}{2}PD$，再利用已知可得四边形NFCE为平行四边形，利用PD⊥平面ABCD，即可证明．
（2）利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥平面PDCE．因此BC是四棱锥B-PDCE的高．利用四棱锥B-PDCE的体积=V_B-PDCE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC$即可得出．

解答 （1）证明：连接AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连接NF，
∵N为线段PB的中点，
∴NF∥PD，且$NF=\frac{1}{2}PD$，
又EC∥PD，且$EC=\frac{1}{2}PD$，
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC，即NE∥AC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，
∴NE⊥PD．
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．
∴BC是四棱锥B-PDCE的高．
∵S_梯形PDCE=$\frac{（PD+CE）×CD}{2}$=$\frac{（2+1）×2}{2}$=3，
∴四棱锥B-PDCE的体积=V_B-PDCE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC$=$\frac{1}{3}×3×2$=2．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形与矩形的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．