题目内容
【题目】如图,已知多面体中,
,
平面
,
,
,
,
.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由余弦定理得PB,从而PB⊥AB,由AD⊥平面PAB,得AD⊥PB,再由PB⊥AB,能证明PB⊥平面ABCD.
(Ⅱ)由余弦定理求出cos∠PDC,从而sin∠PCD
,S△ACD=2,设直线PA与平面PCD所成角为θ,点A到平面PCD的距离为h,由VA﹣PDC=VP﹣ACD,得h
,从而sinθ
,由此能求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
(Ⅰ)在中,
,
,
,
所以,
,
所以,
,
因为,所以
,
,
,
四点共面.
又平面
,
平面
,
所以.
又,
,
所以平面
.
(Ⅱ)(方法一)在中,
,
在中,
.
在直角梯形中,
.
在中,
,
.
所以,
.
设直线与平面
所成的角为
,设点
到平面
的距离为
,
因为,所以
,即
,
所以,
,
故直线与平面
所成的角的正弦值为
.
(方法二)由(Ⅰ)知,平面
,
.
以点为坐标原点,以
,
,
所在直线分别为
,
,
轴建立如图的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
所以,
,
.
设直线与平面
所成的角为
,
设平面的一个法向量为
,
由得
取
,
则,
,所以
.
所以
,
故直线与平面
所成的角的正弦值为
.
(方法三)延长,
相交于点
,连结
.
因为,
,所以
为
的中位线,
点,
分别为
,
的中点.所以
为等腰三角形.
取中点
,连
,
.
所以,
,
,
所以平面
,又
平面
,所以平面
平面
.
作于
,连
,所以
平面
.
所以就是直线
与平面
所成的角.
因为,
,
,
所以,所以
.
所以,
故直线与平面
所成的角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关,通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动,利用列联表,由计算可得
,参照下表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5,024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
得到的正确结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”