Question

12．探究性问题：$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．则$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
试用上面的规律解决下面的问题：
（1）计算$\frac{1}{（x+1）（x+2）}+\frac{1}{（x+2）（x+3）}+\frac{1}{（x+3）（x+4）}$；
（2）已知$\sqrt{a-1}$+（ab-2）²=0，求$\frac{1}{ab}+\frac{1}{（a+1）（b+1）}+\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{1}{（a+2016）（b+2016）}$．

Answer 1

分析 根据已知中，$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．分析分母的变化规律，可得$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，根据上述结论，利用裂项相消法，可得到两个式子的值；

解答 解：∵$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．
…
归纳可得：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
（1）$\frac{1}{（x+1）（x+2）}+\frac{1}{（x+2）（x+3）}+\frac{1}{（x+3）（x+4）}$=$\frac{1}{（x+1）}-\frac{1}{（x+2）}+\frac{1}{（x+2）}-\frac{1}{（x+3）}+\frac{1}{（x+3）}-\frac{1}{（x+4）}$=$\frac{1}{（x+1）}-\frac{1}{（x+4）}$=$\frac{3}{{x}^{2}+5x+4}$；
（2）∵$\sqrt{a-1}$+（ab-2）²=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2，
∴$\frac{1}{ab}+\frac{1}{（a+1）（b+1）}+\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{1}{（a+2016）（b+2016）}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2017×2018}$=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}$=$1-\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$，
故答案为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．