Question

【题目】已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．

（1）求函数g（x）的解析式及定义域；

（2）求函数g（x）的最值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，最大值.

【解析】

（1）将f（x）的解析式代入g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2中，整理可得到g（x）的解析式，利用f（x）的定义域可以得到g（x）的定义域；（2）通过换元法，利用二次函数单调性可以求出最值。

（1）由题意可得

则，且，

进一步得：，定义域为.

（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，

函数转化为h（t）＝﹣t2+t+1，t∈[1，3]，

由二次函数性质，得h（t）在[1，3]递减

所以h（t）的值域为[h（3），h（1）]，即[﹣5，1]，

所以当x＝8时，t=3，g（x）有最小值﹣5，

当x＝2时，t=1，g（x）有最大值1．