Question

【题目】已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0， f(1)＝－2.

(1)求证:f(x)是奇函数；

(2)判断函数的单调性

(3)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） 见解析；（2）见解析；（3） 函数有最大值6，有最小值-6．

【解析】

（1）根据任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），利用赋值法构造奇偶性判断的定义即可证明；（2）根据函数单调性的定义证法得到结果即可；（3）根据已知条件，利用赋值法得到函数的端点值，结合函数的单调性得到最值.

（1）因为，所以，所以，

而，因此，

所以 ，所以函数是奇函数；

（2）设，由，知，

因为，所以，又当时，，

所以，所以，所以，

（3）函数是定义域上的减函数，当时，函数有最值，

当时，函数有最大值，当时，函数有最大值，

，

，

所以当时，函数有最大值6，当时，函数有所有最小值-6.