题目内容
【题目】已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0, f(1)=-2.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)判断函数的单调性
(3)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
【答案】(1) 见解析;(2)见解析;(3) 函数有最大值6,有最小值-6.
【解析】
(1)根据任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),利用赋值法构造奇偶性判断的定义即可证明;(2)根据函数单调性的定义证法得到结果即可;(3)根据已知条件,利用赋值法得到函数的端点值,结合函数的单调性得到最值.
(1)因为,所以,所以,
而,因此,
所以 ,所以函数是奇函数;
(2)设,由,知,
因为,所以,又当时,,
所以,所以,所以,
(3)函数是定义域上的减函数,当时,函数有最值,
当时,函数有最大值,当时,函数有最大值,
,
,
所以当时,函数有最大值6,当时,函数有所有最小值-6.
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