题目内容

【题目】已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0, f(1)=-2.

(1)求证:f(x)是奇函数;

(2)判断函数的单调性

(3)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

【答案】(1) 见解析;(2)见解析;(3) 函数有最大值6,有最小值-6

【解析】

(1)根据任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),利用赋值法构造奇偶性判断的定义即可证明;(2)根据函数单调性的定义证法得到结果即可;(3)根据已知条件,利用赋值法得到函数的端点值,结合函数的单调性得到最值.

(1)因为,所以,所以

,因此

所以 ,所以函数是奇函数;

(2)设,由,知

因为,所以,又当时,

所以,所以,所以

(3)函数是定义域上的减函数,当时,函数有最值,

时,函数有最大值,当时,函数有最大值

所以当时,函数有最大值6,当时,函数有所有最小值-6.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网