题目内容
已知二次函数,及函数。
关于的不等式的解集为,其中为正常数。
(1)求的值;
(2)R如何取值时,函数存在极值点,并求出极值点;
(3)若,且,求证: 。
(1) (2),
(3)可用数学归纳法证明
解析试题分析:(1)解:∵关于的不等式的解集为,
即不等式的解集为,
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解法1:由(1)得.
∴的定义域为.
∴.
方程(*)的判别式
.
当时, 对恒成立,方程(*)的两个实根为
则时,;时,.
∴函数在上单调递减,在上单调递增.
∴对任意实数k,函数都有极小值点.
解法2:由(1)得.
∴的定义域为.
∴.
若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点,且至少有一个零点在上.
令,
得, (*)
则,(**)
方程(*)的两个实根为, .
设,
①若,则
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