题目内容
设函数,是定义域为R上的奇函数.
(1)求的值,并证明当时,函数是R上的增函数;
(2)已知,函数,,求的值域;
(3)若,试问是否存在正整数,使得对恒成立?若存在,请求出所有的正整数;若不存在,请说明理由.
(1)如下(2)(3)存在正整数=3或4
解析试题分析:解:(1)是定义域为R上的奇函数,,得.
此时,,,即是R上的奇函数.
设,则,
,,,在R上为增函数.
(2),即,或(舍去),
令,由(1)知在[1,2]上为增函数,∴,
,
当时,有最大值;当时,有最小值,
∴的值域.
(3)=,,
假设存在满足条件的正整数,则,
①当时,.
②当时,,则,令,则,易证在上是增函数,∴.
③当时,,则,令,则,易证在上是减函数,∴.
综上所述,,∵是正整数,∴=3或4.
∴存在正整数=3或4,使得对恒成立.
考点:函数的单调性
点评:本题难度较大。函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助,而求函数的单调性有时可以结合导数来求。
2013年,首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月。经气象局统计,北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》将空气质量指数分为六级:其中,中度污染(四级),指数为151—200;重度污染(五级),指数为201—300;严重污染(六级),指数大于300. 下面表1是该观测点记录的4天里,AQI指数与当天的空气水平可见度(千米)的情况,表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果,
表1:AQI指数与当天的空气水平可见度(千米)情况
AQI指数 | ||||
空气可见度(千米) |
AQI指数 | |||||
频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(Ⅱ)根据表2估计这30天AQI指数的平均值.
(用最小二乘法求线性回归方程系数公式,)
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙.已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.
据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:
所用的时间(天数) | 10 | 11 | 12 | 13 |
通过公路1的频数 | 20 | 40 | 20 | 20 |
通过公路2的频数 | 10 | 40 | 40 | 10 |
(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径;
(Ⅱ)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为万元、万元(其它费用忽略不计),此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售商一次性支付给生产商40万元,若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给生产商2万元;若在约定日期后送到,每迟到一天,销售商将少支付给生产商2万元.如果汽车A、B长期按(Ⅰ)所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大.(注:毛利润=(销售商支付给生产商的费用)一(一次性费用)) .