Question

（本小题满分14分）
设函数,
（1）求证:不论为何实数在定义域上总为增函数;
（2）确定的值,使为奇函数;
（3）当为奇函数时,求的值域．

Answer 1

(1) 见解析； (2)  
（3）为奇函数时，其值域为 

（1）先设x₁＜x₂，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x）恒成立，从而求得a值即可．
（3）由（2）知，利用指数函数y=2^x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．
(1) 的定义域为R, 设，且,
则=,
, ,
即,所以不论为何实数总为增函数．……………………5分
(2) 为奇函数, ,即,
整理得 ，
则  ，解得:  
……………………10分
（4）由(2)知,
,,

故当为奇函数时，其值域为……………………14分
另解：由(2)知.
由，得，
当时，得，矛盾，所以；
故有.
当时，，所以，解得.
故当为奇函数时，其值域为………………14分