题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,判断函数
的单调性;
(2)当有两个极值点时,求a的取值范围,并证明
的极大值大于2.
【答案】(1)为(0,+∞)上的减函数.(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,法1:结合二次函数的性质判断导函数的符号,求出函数的单调性即可;法2:令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a,根据函数的单调性求出h(x)的最大值,判断即可;(2)令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a,求出函数的导数,根据函数的单调性得到h(x)=0有两不等实数根x1,x2(x1<x2),求出a的范围,求出f(x)的极大值判断即可.
(1)由题知.
方法1:由于,
,
,
又,所以
,从而
,
于是为(0,+∞)上的减函数.
方法2:令,则
,
当时,
,
为增函数;当
时,
,
为减函数.
则.由于
,所以
,
于是为(0,+∞)上的减函数.
(2)令,则
,
当时,
,
为增函数;当
时,
,
为减函数.
当x趋近于时,
趋近于
,
由于有两个极值点,所以
有两不等实根,即
有两不等实数根
(
).
则有解得
.可知
,
又,则
,
当 时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减.
则函数在
时取极小值,
在
时取极大值.
即,
而,即
,
所以极大值.当
时,
恒成立,
故为
上的减函数,所以
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