题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若点在线段
上,且满足
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1) 连接,
为正三角形,
,即
,又
,由线面垂直的判定定理即可得到证明;(2)由(1)知
,
,
两两垂直,因此以
为坐标原点,以
,
,
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量,然后利用线面角的向量公式计算即可.
(1)如图,连接.
由条件知四边形为菱形,且
,
∴,∴
为正三角形.
∵为
的中点,∴
.
又∵,∴
.
又∵底面
,
底面
,∴
.
∵,∴
平面
.
(2)由(1)知,
,
两两垂直,因此以
为坐标原点,以
,
,
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系,如图所示.则
,
,
,
,
.
∵,∴
,
∴ .易知
.
设为平面
的一个法向量,则
由得
取
,得
.
又∵,
∴
,
故直线与平面
所成角的正弦值为
.

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