题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若点
在线段
上，且满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
(1) 连接
,
为正三角形，
，即
，又
，由线面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由（1）知
，
，
两两垂直，因此以
为坐标原点，以，，
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量，然后利用线面角的向量公式计算即可.
（1）如图，连接.
由条件知四边形
为菱形，且
，
∴
，∴
为正三角形.
∵
为
的中点，∴.
又∵
，∴.
又∵
底面，
底面，∴.
∵
，∴
平面
.
（2）由（1）知，，两两垂直，因此以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则
，
，
，
，
.
∵
，∴
，
∴ 
.易知
.
设
为平面的一个法向量，则
由
得
取
，得
.
又∵
，
∴
，
故直线
与平面所成角的正弦值为.
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