Question

【题目】在三棱柱中，,,为的中点.

（1）证明：；

（2）若，点在平面的射影在上，且与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的高.

Answer 1

【答案】（1）详见解析;（2）高为

【解析】

（1）连结交于点E，连结DE，，得面；

（2）取的中点O，连结，因为点在面ABC上的摄影在AC上，且，所以面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由BC与平面所成角的正弦值为，即，可求得.

（1）连结交于点E，连结DE，则E是的中点，

又D为的中点，所以，且面，面，

所以面；

（2）取的中点O，连结，

因为点在面ABC上的摄影在AC上，且，

所以面ABC，可建立如图的空间直角坐标系，设，

因为，

则，

，

设为面的法向量，

，取，则，

由BC与平面所成角的正弦值为，即

，解得，

所以三棱柱的高是.