题目内容
设函数.
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.
(1)的最大值为;(2)实数的取值范围为.
解析试题分析:(1)先将函数的导数求出来,并将不等式在上恒成立转化为二次函数在恒成立,利用列相应的不等式,求出实数的取值范围,进而确定的最大值;(2)先利用导数求出函数的极大值与极小值,由于方程有且只有一个实数根,利用或求出实数的取值范围.
试题解析:(1),
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得,即的最大值为
(2)因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
考点:1.二次不等式恒成立;2.函数的极值;3.函数的零点个数
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