Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上是单调增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】

（1）由题意有，分和进行分类讨论得出函数的单调性.
（2）不等式恒成立，即，（1）可得，当时，，即在时恒成立，令，，求出单调性，得出的最大值即可得出答案.

（1），

.

当时，，在上是单调增函数；

当时，.

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上是单调增函数；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）可得，当时，.

由不等式恒成立，得恒成立，

即在时恒成立.

令，，则.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是.