Question

【题目】已知函数f（x）=ex+be﹣x ， （b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

①当b≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；

②当b＞0时，减区间为 ，增区间为

（2）

解：由题意得ex﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，

构造函数h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π）

显然a≤0时，ex﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，

下面考虑a＞0时的情况：h（0）=0，h′（x）=ex+e﹣x﹣2acosx，h′（0）=2﹣2a，

当0＜a≤1时，h′（x）≥0，所以h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx在（0，π）为增函数，

所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1满足题意；

当a＞1时，h′（0）=2﹣2a＜0，又 ，

所以一定存在 ，h′（x0）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x0），

所以h（x）在（0，x0）单调递减，所以h（x）＜h（0）=0，

x∈（0，x0），不满足题意．

综上，a取值范围为（﹣∞，1]

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；（2）构造函数h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π），通过讨论a的范围确定函数的单调性，从而求出a的范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．