Question

【题目】下列命题中正确的有 ． （填上所有正确命题的序号） ①一质点在直线上以速度v=3t2﹣2t﹣1（m/s）运动，从时刻t=0（s）到t=3（s）时质点运动的路程为15（m）；
②若x∈（0，π），则sinx＜x；
③若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
④已知函数 ，则 ．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：由定积分的物理意义可知：从时刻t=0（s）到t=1（s）时质点速度为负，从时刻t=1（s）到t=3（s）时质点速度为正， ∴质点运动的路程 （|3t2﹣2t﹣1|）dx+ （3t2﹣2t﹣1）dx=1+16=17（m），故①错误；
对于②设y=sinx﹣x，y′=cosx﹣1，x∈（0，π），故y′＜0，恒成立，y单调递减，故y＜0，恒成立，故sinx＜x，故②正确；
③y=x3 ， f′（0）=0，单x=0不是函数的极值点，故③错误；
对于④由定积分的几何意义可知：令y2=﹣x2+4x，
∴（x﹣2）2+y2=4，
是以（2，0）为圆心，以2为半径的 圆的面积，
∴ ，故④正确．
所以答案是：②④．
【考点精析】认真审题，首先需要了解导数的几何意义(通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即)．