题目内容
【题目】设是数列
的前
项和,
.
(1)求证:数列是等差数列,并求
的通项;
(2)设,求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析, ;(2)
.
【解析】试题分析:当数列提供与
、
之间的递推关系时,要数列
是等差数列,只需利用
,转化为
、
之间的关系,证明某数列是等差数列,就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数,这个分析给证明提供一个暗示,有了证明的目标,从递推关系式向着这个目标进行等价变形,就可得出所要证明的式子,达到证明的目的;已知数列的前n项和
,求通项公式分两步,第一步n=1 时,求出首项,第二步,当
时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项,若首项满足后者,则可书写统一的通项公式,若首项不满足,则通项公式要写成分段函数形式,有关数列求和问题,主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等,要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.
试题解析:
(1),∴
,
即,
,
∴数列是等差数列.
由上知数列是以2为公差的等差数列,首项为
,
∴,∴
.
∴.
(或由得
),
由题知, ,
综上, .
(2)由(1)知
,
∴,
∴.
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