Question

【题目】已知抛物线C： ，直线与抛物线C交于A,B两点.

（1）若直线过抛物线C的焦点，求.

（2）已知抛物线C上存在关于直线对称的相异两点M和N，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)16;(2) 的取值范围是.

【解析】试题分析：（1）由直线过抛物线 的焦点可得， ，得到；故抛物线方程为，联立方程，根据焦半径公式可得的值；（2）根据直线垂直可得直线 的斜率，可设直线的方程为，代入中消去可得到： ，由韦达定理可得的中点坐标坐标，将中点坐标代入的方程可得，利用判别式大于零可求得的取值范围.

试题解析：（1）依题意可知抛物线C的焦点为（），所以，得到；故抛物线方程为.

联立方程，所以

（2）依题意可知直线垂直平分线段MN， 于是直线MN的斜率为-1，设其方程为，

代入中消去可得到：

设，从而；

故线段MN的中点G（），

又因为G在直线MN： 上，

所以，

因为方程有两个相异实根，所以，即，

于是，

故所求的取值范围是.