题目内容
【题目】已知椭圆(
)的左、右焦点分别为
、
,设点
,在
中,
,周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过点的直线
与椭圆
相交于
、
两点,若直线
与
的斜率之和为
,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标;
(3)记第(2)问所求的定点为,点
为椭圆
上的一个动点,试根据
面积
的不同取值范围,讨论
存在的个数,并说明理由.
【答案】(1);(2)过定点
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意布列关于的方程组,从而得到椭圆方程;(2) 设直线
方程:
,联立方程可得:
,利用根与系数的关系及
,得到
过定点
.(3)设直线
与椭圆
相切,
,两切线到
的距离分别为
,根据
面积
的不同取值范围,讨论
存在的个数.
试题解析:
(1)由得:
,所以
………①
又周长为
,所以
………②
解①②方程组,得
所以椭圆方程为
(2)设直线方程:
,交点
依题: 即:
过定点
.
(3),
设直线与椭圆
相切,
得两切线到的距离分别为
当时,
个数为0个
当时,
个数为1个
当时,
个数为2个
当时,
个数为3个
当时,
个数为4个
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