题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)设,讨论
的单调性;
(2)若函数在
内存在零点,求
的范围.
【答案】(1)见解析;(2)的取值范围是
.
【解析】试题分析:(1)求出,对
分三种情况讨论,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)设
,
,设
,分三种情况讨论:
,
,
,分别利用导数研究函数的单调性,结合函数图象以及零点定理,可得
的范围.
则 .
试题解析:(1)定义域
故 则
若,则
在
上单调递减;
若,则
.
(i) 当 时,则
,因此在
上恒有
,即
在
上单调递减;
(ii)当时,
,因而在
上有
,在
上有
;因此
在
上单调递减,在
单调递增.
(2)设 ,
,设
,
则 .
先证明一个命题:当时,
.令
,
,故
在
上是减函数,从而当
时,
,故命题成立.
(i)若 ,由
可知,
.
,故
,对任意
都成立,故
在
上无零点,因此
.
(ii)当,考察函数
,由于
在
上必存在零点.设
在
的第一个零点为
,则当
时,
,故
在
上为减函数,又
,
所以当 时,
,从而
在
上单调递减,故在
上恒有
。即
,注意到
,因此
,令
时,则有
,由零点存在定理可知函数
在
上有零点,符合题意.
(iii)若,则由
可知,
恒成立,从而
在
上单调递增,也即
在
上单调递增,因此
,即
在
上单调递增,从而
恒成立,故方程
在
上无解.
综上可知, 的取值范围是
.
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