题目内容

【题目】已知函数其中.

1)设讨论的单调性;

2)若函数内存在零点,求的范围.

【答案】(1)见解析;(2)的取值范围是.

【解析】试题分析:(1)求出,对分三种情况讨论,分别令求得的范围,可得函数增区间, 求得的范围,可得函数的减区间;(2)设 , ,设,分三种情况讨论: , ,分别利用导数研究函数的单调性,结合函数图象以及零点定理,可得的范围.

.

试题解析:(1)定义域

,则 上单调递减;

,则 .

(i) 当 时,则 ,因此在 上恒有 ,即 上单调递减;

(ii)当时, ,因而在上有,在上有 ;因此 上单调递减,在单调递增.

(2)设 ,

,设

.

先证明一个命题:当时, .令,故上是减函数,从而当时, ,故命题成立.

(i)若 ,由 可知, .,故 ,对任意都成立,故 上无零点,因此.

(ii)当,考察函数 ,由于 上必存在零点.设的第一个零点为,则当时, ,故 上为减函数,又

所以当 时, ,从而 上单调递减,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令时,则有,由零点存在定理可知函数 上有零点,符合题意.

(iii)若,则由 可知, 恒成立,从而 上单调递增,也即 上单调递增,因此,即上单调递增,从而恒成立,故方程 上无解.

综上可知, 的取值范围是 .

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