题目内容

13.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,其外接球的表面积为$\frac{16π}{9}$.

分析 三棱锥是正三棱锥,底面是边长为1的正三角形,外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$,高为1,可得外接球的半径为$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}}$=$\frac{2}{3}$,即可求出外接球的表面积.

解答 解:由题意,三棱锥是正三棱锥,底面是边长为1的正三角形,外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
高为1,∴外接球的半径为$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}}$=$\frac{2}{3}$,
∴外接球的表面积为4$π•\frac{4}{9}$=$\frac{16π}{9}$.
故答案为:$\frac{16π}{9}$.

点评 本题考查空间图形的三视图,外接球的表面积,考查学生的计算能力,确定外接球的半径是关键.

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