Question

12．设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+log₂a_n}（n∈N^*）的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}+{a_3}=7\\{a_1}+3+{a_3}+4=6{a_2}\end{array}\right.又q＞1，得{a_1}=1，q=2$．
∴${a_n}={2^{n-1}}（n∈{N^*}）$．
（2）${log_2}{a_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$，
∴a_n+log₂a_n=2^n-1+（n-1）．
∴T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{n（0+n-1）}{2}$=2ⁿ-1+$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．