Question

2．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7-a∈S，问这样的集合S有7个；请将该问题推广到一般情况：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1-a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有${2^{\frac{n}{2}}}-1$个；当n为奇数时，这样的集合A有${2^{\frac{n+1}{2}}}-1$个．

Answer 1

分析 若a∈S，则必有7-a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可；针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，则必有7-a∈S，
那么满足上述条件的集合S可能为：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7个；
若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n}的元素个数为奇数个，
因为a∈A，则n+1-a∈A，
所以从集合{1，2，3，…，n}中取出两数，使得其和为n+1，这样的数共有$\frac{n}{2}$对，所以此时集合M的个数有${2^{\frac{n}{2}}}-1$个，
若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为${2^{\frac{n+1}{2}}}-1$个．
故答案为：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1-a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有${2^{\frac{n}{2}}}-1$个；当n为奇数时，这样的集合A有${2^{\frac{n+1}{2}}}-1$个

点评 本题主要考查了子集的定义，以及集合的限制条件下求满足条件的集合，考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．