题目内容
【题目】
已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为
.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为
，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；
（2）（i）设出直线
的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点
的坐标，求出直线
的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出
的坐标，再求出直线
的斜率，计算
的值，就可以证明出
是直角三角形；
（ii）由（i）可知
三点坐标，是直角三角形，求出
的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.
（1）直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，由题意可知：
，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在
轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为
；
（2）（i）设直线的方程为
,由题意可知
,直线的方程与椭圆方程
联立,即
或
,点P在第一象限，所以
，因此点的坐标为
直线的斜率为
，可得直线方程：
，与椭圆方程联立，
，消去
得，
（*），设点
，显然
点的横坐标
和
是方程（*）的解
所以有
，代入直线方程中，得
，所以点的坐标为
，
直线的斜率为; 
,
因为
所以
，因此是直角三角形；
（ii）由（i）可知：，
的坐标为，
，
,
,因为，所以当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数单调递减，因此当
时，函数有最大值，最大值为
.
【题目】为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的
名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于
小时的有
人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足
分的占
，统计成绩后，得到如下的
列联表：
分数大于等于 | 分数不足 | 合计 | |
周做题时间不少于 | 4 | 19 | |
周做题时间不足 | |||
合计 | 45 |
（
）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．
（
）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于
分和分数不足分的两组学生中抽取
名学生，设抽到的不足分且周做题时间不足小时的人数为
，求的分布列（概率用组合数算式表示）．
（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取
人，求这些人中周做题时间不少于小时的人数的期望和方差．
附：
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