题目内容
【题目】如图所示，在等腰梯形ABCD中，
，
，E，F为AB的三等分点，且
将
和
分别沿DE、CF折起到A、B两点重合，记为点P．
证明：平面
平面PEF；
若
，求PD与平面PFC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
推导出四边形CDEF是平行四边形，
，
，
由
，得
，从而
面PEF，由此能证明平面
平面PEF．
在平面PEF内作
，垂足为O，取CD的中点M，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系
，利用向量法能求出PD与平面PFC所成角的正弦值．
，
，
四边形CDEF是平行四边形，
，
≌
，
，
，
，，
，
，
，
面PEF，
面PFC，平面
平面PEF．
在平面PEF内作，垂足为O，取CD的中点M，
由知平面PEF，故FC
，
平面CDEF，
，
，
，
，
，
，
，OF，OM两两垂直，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，
是等边三角形，
0，
，
0，
，
2，，
2，，
0，
，
2，，
2，，
设
y，
是平面PFC的法向量，
则
，取
，得
0，
，
设PD与平面PFC所成角为
，
则
，
与平面PFC所成角的正弦值为．
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【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标 |
|
|
|
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了
件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是
年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：
，
，
）