题目内容
【题目】已知椭圆:
,该椭圆经过点
,且离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是圆
上任意一点,由
引椭圆
的两条切线
,
,当两条切线的斜率都存在时,证明:两条切线斜率的积为定值.
【答案】(1) .(2)见解析.
【解析】
(1)由椭圆经过点,可以求出
的值,由离心率为
,可知
的关系,结合
之间的,可以求出
的值,这样就求出椭圆的标准方程;
(2)设,且
.点
引椭圆
的切线方程可设为
,
与椭圆方程联立,让根的判断式为零,得到一个关于的一元二次方程,利用根与系数的关系,可以证明出两条切线斜率的积为定值.
(1)由题意得,解得
,
.
∴椭圆的标准方程为
.
(2)设,且
.
由题意知,过点引椭圆
的切线方程可设为
,
联立化简得
.
∵直线与椭圆相切,
∴,
化简得.
∴.
∴两条切线斜率的积为定值.
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