题目内容

【题目】如图,已知垂直于梯形所在的平面,的中点,.若四边形为矩形,线段交于点.

(1)证明:∥平面.

(2)求二面角的大小。

(3)在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由。

【答案】1)详见解析;(23)在线段上存在一点,且

【解析】

试题(1)连接中,由题设知分别为中点,所以由此可证// 平面

2)如图以为原点,分别以所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系利用空间向量的数量积求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐标,由法向量的夹角公式求出求二面角的大小;

3)首先假设存在点Q满足条件.由,再利用向量的夹角公式确定的值.

试题解析:解:(Ⅰ)连接中,分别为中点,所以

因为

所以4

2)如图以为原点,分别以所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系5

设平面的法向量为

解得

,得所以7

因为平

所以

由图可知二面角为锐二面角,

所以二面角的大小为9

3)设存在点Q满足条件.

整理得11

因为直线与平面所成角的大小为

所以13

,即点与E点重合.

故在线段上存在一点,且14

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