Question

(本小题满分10分)已知二次函数f (x) = x² – 16x + p + 3．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q(q≥0)，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为
12 – q．（注：区间[a，b](a＜b)的长度为b – a)

Answer 1

（1）–20≤p≤12；（2）存在常数q = 8或q = 9，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为12–q．

（1）利用零点存在性定理列出关于q的不等式，然后再利用不等式知识求解即可；（2）先利用单调性求出函数的值域，再利用区间长度列出关于q的方程，求解即可。
解：（1）∵二次函数f (x)= x² – 16x + p + 3的对称轴是，∴函数在区间上单调递减，则函数在区间上存在零点须满足．                                             ……………2分
即(1 + 16 + p + 3)(1 – 16 + p + 3)≤0， 解得–20≤p≤12．   …………………4分
⑵ 当时，即0≤q≤6时，
的值域为：[f (8)，f (q)]，即[p–61, q² –16q + p + 3].
∴区间长度为q² – 16q + p + 3 – (p – 61) = q² – 16q + 64 =" 12" – q．
∴q² – 15q + 52 =" 0" ∴，经检验不合题意，舍去．……6分
当时，即6≤q<8时，的值域为：，即[p – 61，p – 57]
∴区间长度为p – 57 – (p – 61) =" 4" =" 12" – q ∴q = 8．经检验q = 8不合题意，舍去. …8分
当q≥8时，的值域为：[f (q)，f (10)]，即 [q² – 16q + p +3，p – 57].
∴区间长度为p – 57 –(q² – 16q + p + 3) = –q² – 16q – 60 =" 12" – q,
∴q² – 17q + 72 =" 0" , ∴q = 8或q = 9．经检验q = 8或q = 9满足题意．
所以存在常数q = 8或q = 9，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为12–q．                                              ………………………10分