题目内容
6.设P,Q分别是圆(x+2)2+(y-7)2=1与抛物线y2=x上的点,则P,Q两点的最小距离为( )A. | $\sqrt{73}$ | B. | $\sqrt{73}$-1 | C. | 3$\sqrt{5}$ | D. | 3$\sqrt{5}$-1 |
分析 设圆心为C,则|PQ|=|CP|-|CQ|=|CP|-1,将|PQ|的最小问题,转化为|CP|的最小问题即可.
解答 解:设圆心为C,则|PQ|=|CP|-|CQ|=|CP|-1,C点坐标(-2,7),
由于P在y2=x上,设P的坐标为(x,y),
∴|CP|=$\sqrt{(x+2)^{2}+(y-7)^{2}}$=$\sqrt{{y}^{4}+5{y}^{2}-14y+53}$
设t=y4+5y2-14y+53,则t′=4y3+10y-14=(y-1)(4y2+4y+14)
∴y>1,t′>0,y<1,t′<0,
∴y=1时,tmin=45,
∴|CP|min=3$\sqrt{5}$
∵圆半径为1,
∴|PQ|最小值为3$\sqrt{5}$-1.
故选:D.
点评 本题重点考查圆与圆锥曲线的综合,考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值,将|PQ|的最小问题,转化为|CP|的最小问题是解题的关键.
练习册系列答案
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