题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)证明:当时,函数
有最小值,设
最小值为
,求函数
的值域.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)原问题等价于对
恒成立,设
,求其最小值即可;
(2)求导得,记
,
,由(1)知
在区间
内单调递增,从而得到当
时,函数
有最小值;
,又因为
.所以
,从而易得函数
的值域.
详解:(1)因为对
恒成立,
等价于对
恒成立,设
得
,故
在
上单调递增,
当时,由上知
,所以
,即
,
所以实数的取值范围为
;
(2)对求导得
,
记,
,
由(1)知在区间
内单调递增,又
,
所以存在唯一正实数,使得
,
当
时,
,
,函数
在区间
单调递减;
时,
,
,函数
在区间
单调递增;
所以在
内有最小值
,
由题设即.
又因为.所以
.
根据(1)知, 在
内单调递增,
,
所以.令
,则
,函数
在区间
内单调递增,
所以,
即函数的值域为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
项目 | 男性 | 女性 | 总计 |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
总计 | 30 |
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:K2=
.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |