题目内容
【题目】若数列满足:对于任意
均为数列
中的项,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列的前
项和
,求证:数列
为“
数列”;
(2)若公差为的等差数列
为“
数列”,求
的取值范围;
(3)若数列为“
数列”,
,且对于任意
,均有
,求数列
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】分析:(1)先利用项和公式计算出an=4n-2,再利用“ 数列”证明.(2)利用“
数列”的性质求
的取值范围.(3)先证明数列{an}为等差数列,再转化an<a
-a<an+1,再转化为n(2t2-t)>t2-3t+1,n(t-2t2)>2t-t2-1,分析得到公差t=
,求出数列
的通项公式.
详解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,
又a1=S1=2=4×1-2,所以an=4n-2.
所以an+|an+1-an+2|=4n-2+4=4(n+1)-2为数列{an}的第n+1项,
因此数列{an}为“T 数列”.
(2)因为数列{an}是公差为d的等差数列,
所以an+|an+1-an+2|=a1+(n-1) d+|d|.
因为数列{an}为“T 数列”,
所以任意n∈N*,存在m∈N*,使得a1+(n-1) d+|d|=am,即有(m-n) d=|d|.
①若d≥0,则存在m=n+1∈N*,使得(m-n) d=|d|,
②若d<0,则m=n-1.
此时,当n=1时,m=0不为正整数,所以d<0不符合题意. 综上,d≥0.
(3)因为an<an+1,所以an+|an+1-an+2|=an+an+2-an+1.
又因为an<an+an+2-an+1=an+2-(an+1-an)<an+2,且数列{an}为“T数列”,
所以an+an+2-an+1=an+1,即an+an+2=2an+1,
所以数列{an}为等差数列.
设数列{an}的公差为t(t>0),则有an=1+(n-1)t,
由an<a-a<an+1,得span>1+(n-1)t<t[2+(2n-1)t]<1+nt,
整理得n(2t2-t)>t2-3t+1, ①
n(t-2t2)>2t-t2-1. ②
若2t2-t<0,取正整数N0>,
则当n>N0时,n(2t2-t)<(2t2-t) N0<t2-3t+1,与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾,
因此2t2-t≥0.
同样根据②式可得t-2t2≥0,
所以2t2-t=0.又t>0,所以t=.
经检验当t=时,①②两式对于任意n∈N*恒成立,
所以数列{an}的通项公式为an=1+ (n-1)=
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“微信运动”已经成为当下热门的健身方式,韩梅梅的微信朋友圈内有800为好友参与了“微信运动”.他随机抽取了50为微信好友(男、女各25人),统计其在某一天的走路步数.其中女性好友的走路步数数据记录如下:
12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 9860
8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980
1123 1786 2436 3876 4326
男性好友走路步数情况可以分为五个类别(0-2000步)(说明:“0-2000”表示大于等于0,小于等于2000,下同),
(2001-5000)、
(5001-8000)、
(8001-10000步)、
(10001步及以上),且
三中类型的人数比例为
,将统计结果绘制如图所示的柱形图.
若某人一天的走路步数超过8000步则被系统评定为“积极型”,否则被系统评定为“懈怠型”.
(1)若以韩梅梅抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计韩梅梅的微信好友圈里参与“微信运动”的800名好友中,每天走路步数在5001-10000步的人数;
(2)请根据选取的样本数据完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | 25 | ||
女 | 25 | ||
总计 | 30 |
(3)若从韩梅梅当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查,然后再从这5位好友中选取2人进行访谈,求至少有一位女性好友访谈的概率.
参考公式:,其中
.
临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |