题目内容
【题目】已知点是抛物线
的焦点,点
,
在
上,且
.
(1)求的值;
(2)若直线经过点
且与
交于
,
(异于
)两点,证明:直线
与直线
的斜率之积为常数.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)根据抛物线的焦半径公式,即可求出
的值;
(2)由(1)求出,先考虑
斜率不存在时,求出直线
与直线
的斜率之积,当直线
斜率存在时,设直线
方程与抛物线方程联立,求出
两点的纵坐标关系,再将直线
与直线
的斜率之积用
纵坐标表示,化简即可证明结论.
(1)由抛物线定义知.
(2)由(1),得
,.
当直线经过点
且垂直于
轴时,不妨设
,
,
则直线的斜率
,直线
的斜率
,
所以.
当直线不垂直于
轴时,设
,
,
设直线的斜率为
(显然
且
),
则直线的方程为
.
联立,消去
,得
,
,
所以,
,
则直线的斜率
,
同理直线的斜率
.
∴
,
综上,直线与直线
的斜率之积为
.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品甲,乙,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:
产品甲(件) | 产品乙(件) | ||
研制成本与搭载费用之和(万元/件) | 200 | 300 | 计划最大资金额3000元 |
产品重量(千克/件) | 10 | 5 | 最大搭载重量110千克 |
预计收益(万元/件) | 160 | 120 |
试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?
【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,现从高一学生中抽取100人做调查,得到列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合计 | 100 |
且已知在100个人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由.
参考公式与临界值表:.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |