Question

【题目】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

（1）求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

Answer 1

【答案】（1）点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.（2）证明见解析。

【解析】

（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；

（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．

（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），

设P（x，y），由点P满足=．

可得（x﹣x0，y）=（0，y0），

可得x﹣x0=0，y=y0，

即有x0=x，y0=，

代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，

即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；

（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），

=1，可得（cosα，sinα）（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，

即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，

当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，

解得m=，

即有Q（﹣3，），

椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），

由=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）（﹣3，）

=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由=1，

可得（m，n）（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，

又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，

即有nt=3+3m，

又椭圆的左焦点F（﹣1，0），

=（﹣1﹣m，﹣n）（﹣3，t）=3+3m﹣nt

=3+3m﹣3﹣3m=0，

则⊥，

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．