Question

19．姜堰某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是$5x+1-\frac{3}{x}$千元．
（1）要使生产该产品2小时获得利润不低于30千元，求x的取值范围；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出不等式，即可求出x的取值范围．
（2）利用换元法，结合二次函数的最值，求解函数的最值即可．

解答 （本题满分16分）
解：（1）由题意可知：$2（5x+1-\frac{3}{x}）≥30$，∴5x²-14x-3=（5x+1）（x-3）≥0，∴$x≤-\frac{1}{5}或x≥3$，…（4分）
又因为1≤x≤10，∴3≤x≤10…（6分）
（2）∵$y=\frac{120}{x}（5x+1-\frac{3}{x}）=120（-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}+5），x∈[1，10]$…（10分）
令$t=\frac{1}{x}∈[\frac{1}{10}，1]$，∴y=120（-3t²+t+5）
当$t=\frac{1}{6}$即x=6时，∴y_max=610千元．…（15分）
答：该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元．…（16分）

点评 本题考查函数的模型的性质与应用，二次函数的性质的应用，考查计算能力．