题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,不等式
有且只有两个整数解,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,函数
在
单调递减;
当时,函数
在
单调递增,在
单调递减;
当时,函数
在
单调递增,在
单调递减。
(2)
【解析】
(1)对函数求导,根据a的不同范围,分别求出导函数何时大于零,何时小于零,这样就可以判断出函数的单调性。
(2)不等式 可以化成
,构造函数
,
求导数和单调性,结合条件分别讨论,三种情况下,可以求出满足条件的a的取值范围。
(1)函数的定义域为
② 当时,
函数
在
上是减函数;
②当时,
,当
时
,函数单调递增,
当时,
,函数单调递减。
③当时,
,当
时,
,函数递减,
当时,
,函数单调递增。
综上所述:当时,函数
在
单调递减;
当时,函数
在
单调递增,在
单调递减;
当时,函数
在
单调递增,在
单调递减。
(2)
令,求导得
令
所以
是R上的增函数,而
说明函数在R上存在唯一零点
此时函数在
上单调递减,在
上单调递增,
易证,
当时,
,当
时,
(1)若时,
,此时
有无穷多个整数解,不符合题意;
(2)若时,即
,因为函数
在
上单调递减,在
上单调递增
所以时,
,所以
无整数解,不符合题意;
(3)当,即
此时
, 故0,1是
的两个整数解,
又只有两个正整数解,因此
,解得
所以
综上所述的取值范围为
.
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