题目内容
【题目】已知.
(1)当时,若函数
在
处的切线与函数
相切,求实数
的值;
(2)当时,记
.证明:当
时,存在
,使得
.
【答案】(1) .
(2)见解析.
【解析】分析:第一问将代入解析式,之后对函数求导,从而可以求得
,结合
,利用点斜式写出切线的方程,之后再结合直线与抛物线相切的有关特征求得参数b的值;第二问结合题中的条件,转化函数解析式,利用导数研究函数的性质,向最值靠拢即可证得结果.
详解:(Ⅰ)解:当时,
,
,故切线方程为
.
设切线与相切的切点为
,
故满足方程组
解得,故
.
(Ⅱ)证明:,
令,则
在
上单调递增,在
上单调递减.
即
恒成立,
或
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
.
只需证时,
即可,
令
则,
恒成立,
在
上单调递减.
,
在
上单调递增,
上单调递减,
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