题目内容
【题目】已知函数
的定义域为
，且对任意实数
恒有
（
且
）成立.
（1）求函数
的解析式；
（2）讨论
在
上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】（1）
（2）当
时， 
在
上为单调减函数；当
时， 
在
上为单调增函数.
【解析】试题分析：（1）
①，用
替换①式中的
有： 
②，由①②消去
即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意
且
，判定
的符合，即可证明结论.
试题解析：（1）∵
对任意实数
恒有： 
①，
用
替换①式中的
有： 
②，
①×②—②得： 
，
（2）当
时，函数
为单调减函数，函数
也为单调减函数，
∴
在
上为单调减函数.
当
时，函数
为单调增函数，函数
也为单调增函数，
∴
在
上为单调增函数.
证明：设任意
且
，则
，∵
， 
，
①当
时，则
，∴
∴
在
上是减函数.
②当
时，则
，∴
∴
在
上是增函数.
综上：当
时， 
在
上为单调减函数；
当
时， 
在
上为单调增函数.
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