题目内容
【题目】“秃发”是一种常见的毛发疾病，随着发病人群年龄结构的年变化，逐渐引起了社会的广泛关注.一个人出生时头发数量约为100000根，数学徐老师建立了“秃发”函数模型作预估：一个人
岁时的头发根数为
，其中
称为“脱发指数”.
（1）杜老师5岁时有74375根头发，请依据模型求出杜老师的“脱发指数”的值；
（2）徐老师的学生认为“秃发”函数模型中有两个缺点：①头发的根数应该为整数；②头发的根数不能为负数，徐老师感觉很有道理，将模型作了两处修正，请写出修正后（1）问中杜老师的“秃发”函数模型，并求出杜老师几岁时头发最多.
【答案】（1）
；（2）
，杜老师4岁时头发最多.
【解析】
（1）将
代入求解即可求出
的值；
（2）引入求整数的符号
，且将函数写成分段函数的形式，当函数值为负数时变为常数0即可，最后结合基本不等式求出
即可.
（1）依题意，当时，
，
解得，，所以，杜老师的“脱发指数”的值为3125；
（2）依题意可得，，
其中表示不超过x的最大整数，
由
，
当且仅当
时，等号成立，此时，
.
即杜老师4岁时头发最多.
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【题目】随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | 400 | 300 | 700 |
认为共享产品对生活无益 | 100 | 200 | 300 |
总计 | 500 | 500 | 1000 |
（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为共享产品的态度与性别有关系？
（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放1张超市的购物券，购物券金额以及发放的概率如下：
购物券金额 | 20元 | 50元 |
概率 |
|
|
现有甲、乙两人领取了购物券，记两人领取的购物券的总金额为
，求
的分布列和数学期望．
参考公式： 
．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
