题目内容
【题目】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)圆的方程可化为
,由此能求出圆心为
,半径为4,设
,则
,
,由题设知
,由此能求出
的轨迹方程;(2)由(1)知
的轨迹是以点
为圆心,
为半径的圆,由于
,故
在线段
的垂直平分线上,由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出
的面积.
试题解析:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则,
,由题设知
,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2,由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 为半径的圆,由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM,因为ON的斜率为3,所以l的斜率为
,故l的方程为
,又
,O到
的距离
为
,所以
,所以△POM的面积为
.
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