题目内容
【题目】已知圆心为的圆过点
,且与直线
相切于点
。
(1)求圆的方程;
(2)已知点,且对于圆
上任一点
,线段
上存在异于点
的一点
,使得
(
为常数),试判断使
的面积等于4的点
有几个,并说明理由。
【答案】(1)(2)使
的面积等于4的点
有2个
【解析】
(1)利用条件设圆的标准方程,由圆过点
求t,确定圆方程.
(2)设,由
确定阿波罗尼斯圆方程,与圆C为同一圆,可得
,求出N点的坐标,建立ON方程
,
,再利用面积求点P到直线的距离
,
判断与ON平行且距离为的两条直线与圆C的位置关系可得结论.
(1)依题意可设圆心坐标为
,则半径为
,
圆的方程可写成
,
因为圆过点
,∴
,∴
,
则圆的方程为
。
(2)由题知,直线的方程为
,设
满足题意,
设,则
,所以
,
则,
因为上式对任意恒成立,所以
,且
,
解得或
(舍去,与
重合)。
所以点,则
,直线
方程为
,
点到直线
的距离
,
若存在点使
的面积等于4,则
,
∴。
①当点在直线
的上方时,点
到直线
的距离的取值范围为
,
∵,
∴当点在直线
的上方时,使
的面积等于4的点有2个;
②当点在直线
的下方时,点
到直线
的距离的取值范围为
,
∵,
∴当点在直线
的下方时,使
的面积等于4的点有0个,
综上可知,使的面积等于4的点
有2个。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目