Question

14．（1）已知△ABC的3内角为A、B、C，求证：sin²A=sin²B+sin²C-2sinB•sinC•cosA．
（2）若α+β=$\frac{2π}{3}$，且α＞0，β＞0，根据（1）的结论求sin²α+sin²β-sinαsinβ的值．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，利用余弦定理可得a²+b²-c²=2ab•cosC．再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，可得要证的等式成立．
（2）由α+β$+\frac{π}{3}$=π，根据结论（1）可得：sin²$\frac{π}{3}$=sin²α+sin²β-2sinα•sinβ•cos$\frac{π}{3}$，利用特殊角的三角函数值即可得解．

解答 解：（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
即b²+c²-a²=2bc•cosA．
再利用正弦定理可得sin²B+sin²C-sin²A=2sinCsinBcosA，
∴sin²A=sin²B+sin²C-2sinB•sinC•cosA．得证．
（2）∵α+β$+\frac{π}{3}$=π，
∴由（1）可得：sin²$\frac{π}{3}$=sin²α+sin²β-2sinα•sinβ•cos$\frac{π}{3}$．
∴可得：$\frac{3}{4}$=sin²α+sin²β-sinα•sinβ．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．