Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成角为，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）证明：点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）求二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）求点A₁到平面CB₁A的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）过B₁点作B₁O⊥BA，由面面垂直的性质，可得A₁O⊥面ABC，即O为点B₁在平面ABC上的射影，进而∠B₁BA是侧棱BB₁与底面ABC的夹角，由已知中侧棱BB₁与底面ABC所成角为，解Rt△BOB₁，易得O是AB的中点．
（2）连接AB₁，过点O作OM⊥AB₁，连接CM，OC，可证得∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角，解Rt△OMC，即可求出二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）方法一：过点O作ON⊥CM，可证得ON⊥面ACB₁，即ON的长度是O点到平面ACB₁DE距离，连接BA₁与B₁A交于H，则H是BA₁的中点，即B与A₁到平面ACB₁的距离相等，结合（1）的结论，求出B到平面ACB₁的距离，即可得到答案．
（3）方法二：根据，分别求出三棱锥的体积和三角形ACB₁的面积，即可得到答案．
解答：证明：（1）过B₁点作B₁O⊥BA．
∵侧面ABB₁A⊥底面ABC，∴A₁O⊥面ABC
∴∠B₁BA是侧棱BB₁与底面ABC的夹角；
∴∠B₁BO=60°；在Rt△BOB₁中，BB₁=2，∴BO=BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴OB=AB，∴O是AB的中点
即点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
解：（2）连接AB₁，过点O作OM⊥AB₁，连接CM，OC
∵OC⊥AB，平面ABC⊥面AA₁BB₁，
∴OM⊥AB₁
∴AB₁⊥CM，∴∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角；
在Rt△OCM中，OC=，OM=，∴tan∠OMC=2
∴二面角C-AB₁-B的正切值为2；
（3）方法一：
过点O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON；
∴ON⊥面ACB₁，∴ON的长度是O点到平面ACB₁DE距离；
在Rt△OMC中，OC=，OM=，∴CM=
∴ON=
连接BA₁与B₁A交于H，则H是BA₁的中点；
∴B与A₁到平面ACB₁的距离相等；
又∵O是AB的中点，∴B到平面AB₁C的距离是O到平面AB₁C距离的2倍；
故A₁到平面AB₁C的距离为
方法二：（体积法）
⇒
又在△ACB₁中，AC=AB₁=2，B₁C=⇒
∴，
∴A₁到平面AB₁C的距离为
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离计算，其中熟练掌握棱柱的结构特征，及线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的相互转化，熟练掌握二面角的定义等基础知识点是解答本题的关键．