题目内容

【题目】已知为抛物线的焦点,过的动直线交抛物线两点.当直线与轴垂直时,

(1)求抛物线的方程;

(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点,抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列,求点的坐标.

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)由题意可得,即可求出抛物线的方程,(2)设直线的方程为,联立消去,得,根据韦达定理结合直线的斜率成等差数列,即可求出点的坐标.

解:(1)因为,在抛物线方程中,令,可得

于是当直线与轴垂直时,,解得

所以抛物线的方程为

(2)因为抛物线的准线方程为,所以

设直线的方程为

联立消去,得

,则.

若点满足条件,则

因为点均在抛物线上,所以

代入化简可得

代入,解得

代入抛物线方程,可得

于是点为满足题意的点.

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