题目内容
如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1=,M是线段B1D1的中点.
(1)求证:BM∥平面D1AC;
(2)求证:D1O⊥平面AB1C;
(3)求二面角B-AB1-C的大小.
60°.
【解析】(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系,则点O(1,1,0)、D1(0,0,),
∴=(-1,-1,
),
又点B(2,2,0),M(1,1,),
∴=(-1,-1,
),
∴=
,又∵OD1与BM不共线,
∴OD1∥BM.
又OD1?平面D1AC,BM?平面D1AC,
∴BM∥平面D1AC.
(2)证明 连接OB1.∵·
=(-1,-1,
)·(1,1,
)=0,
·
=
(-1,-1,)·(-2,2,0)=0,∴
⊥
,
⊥
,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,∴D1O⊥平面AB1C.
(3)解 ∵CB⊥AB,CB⊥BB1,∴CB⊥平面ABB1,∴=(-2,0,0)为平面ABB1的一个法向量.由(2)知
为平面AB1C的一个法向量.
∴cos〈,
〉=
,∴
与
的夹角为60°,即二面角B-AB1-C的大小为60°.

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