题目内容

如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,OACBD的交点,BB1M是线段B1D1的中点.

 

(1)求证:BM平面D1AC

(2)求证:D1O平面AB1C

(3)求二面角B-AB1-C的大小.

 

60°.

【解析】(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系,则点O(1,1,0)D1(0,0)

(1,-1)

又点B(2,2,0)M(1,1)

(1,-1)

,又OD1BM不共线,

OD1BM.

OD1?平面D1ACBM?平面D1AC

BM平面D1AC.

(2)证明 连接OB1.·(1,-1)·(1,1)0·

(1,-1)·(2,2,0)0,即OD1OB1OD1AC,又OB1ACOD1O平面AB1C.

(3)解 CBABCBBB1CB平面ABB1(2,0,0)为平面ABB1的一个法向量.由(2)为平面AB1C的一个法向量.

cos〉=的夹角为60°,即二面角B-AB1-C的大小为60°.

 

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