题目内容
如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝
，M是线段B1D1的中点．
(1)求证：BM∥平面D1AC；
(2)求证：D1O⊥平面AB1C；
(3)求二面角B-AB1-C的大小．
60°.
【解析】(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，
)，
∴
＝(－1，－1，
)，
又点B(2,2,0)，M(1,1，
)，
∴
＝(－1，－1，
)，
∴
＝
，又∵OD1与BM不共线，
∴OD1∥BM.
又OD1?平面D1AC，BM?平面D1AC，
∴BM∥平面D1AC.
(2)证明 连接OB1.∵
·
＝(－1，－1，
)·(1,1，
)＝0，·
＝
(－1，－1，
)·(－2,2,0)＝0，∴⊥，⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.
(3)解 ∵CB⊥AB，CB⊥BB1，∴CB⊥平面ABB1，∴
＝(－2,0,0)为平面ABB1的一个法向量．由(2)知
为平面AB1C的一个法向量．
∴cos〈
，
〉＝
，∴
与
的夹角为60°，即二面角B-AB1-C的大小为60°.
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